不请自来。
二次型的意义有很多，比如马同学的回答中提到的圆锥曲线，比如Narayan的回答中的谐振子能量，这里再给出另外一个也比较直观的几何意义：
向量长度平方在不同基底下的表达式。
为便于理解，我们以二维平面上的情形为例。
在平面直角坐标系下，两个坐标轴的基底向量记为 。
坐标分量记为
那么根据勾股定理可知，向量 的长度平方为：
进一步可以写成：
这就是一个二次型，其中对称矩阵 称作度规矩阵。
现在把其中一个坐标轴转一个角度得到一个斜交坐标系。
此时两个坐标轴不再相互垂直，而是成一个夹角 (见下文图2)。
将两个坐标基底记作 ，将向量 在这个基底下的分量记作：
其中坐标分量 由图2给出：
由图中几何关系以及余弦定理可知，向量 的长度平方为：
这也可以写成一个二次型：
也就是说，直角坐标基底下的度规矩阵
在斜角坐标基底下，变换成：
下面，我们将通过几何关系找出过渡矩阵
从而证明它们真的满足二次型的变换关系：
将两个坐标基底放到一起：
通过图中几何关系可知：
整理可得：
于是过渡矩阵
于是坐标变换下的新的度规矩阵为：
证毕。
几何意义和代数形式在此完美自洽。
在具体的几何或物理图景下，二次型的意义其实非常清晰，也有着非常重要的应用。
比如前面提到的度规，就是整个相对论最重要的数学语言。
具体可参考我的文章：
只是我们的教材并未告诉我们这些。残念。
