谢邀，问题很初等，我借机科普一个概念：数列的（极限 limit point）凝聚点（accumulation point）
一个点 叫数列 的凝聚点当且仅当对于任意的 ,区间 包含无限个数列中的项。这和集合的极限点（凝聚点）不是一个概念。如果把数列看成集合，它的集合凝聚点一定是数列极限点，但是反过来不是。比如数列 ,这个数列（的值）作为集合是 ,它只有离散点，没有凝聚点。但是， 都是数列 的数列凝聚点。
一个点 叫数列 的凝聚点的等价定义是存在一个子序列 使得它的极限刚好就是 .好了，回到数列的凝聚点，任何有界数列都有凝聚点，这些凝聚点本身构成一个集合，这个集合是一个有界闭集（也就是紧集），然后它的最大值就是上极限。
如果证明任何有界数列都有凝聚点呢？只需要取一个单调数列就好，任何一个数列必然包含一个单调子序列。对于任意的 , 我们选取其中的尖峰项 , （一个数列项满足 就叫尖峰项）。只有两个可能，这个序列只包含有限个尖峰项，这个时候这个数列在某一个项后自然存在一个严格单调递增的数列。如果这个数列包含无限个尖峰项，这些尖峰项本身构成一个单调递减序列。一个有界的单调序列必然有极限，这是实数本身的性质决定的，所以任何有界数列必然有极限。
还有一种非常便宜的用来计算的定义，那就是 , 在这个定义中数列 虽然不是原数列的子列，但是它的极限必然是原序列极限点（大家证明看看）。然后你还能证明这是所有极限点中的最大者。这个数列 是本身是单调递减的，所以我们可以直接把 .
类似的，我们可以定义下极限。为什么我们需要说明那么多的等价定义呢？因为在实际使用的过程中，你得根据情况选择最佳的定义作为工具，这也是学数学基本的思路。
