好问题，让我想到了黎曼定理，有意思，等回头有空想一想。
Riemman定理
若级数非绝对收敛，则无论预先取怎样的数B(有限的或无限的 ), 都可以这样重新配置这级数中的项，使得变形后的级数具有和B。
级数是无限多项和，而我们前面对于有限多项和了解甚多，并且有限项和存在很多性质, 比如说结合律、交换律等等这些性质，那么对于无限多项和，也就是说级数来说，这些性质是否遵循呢？
本文就这些方面进行一些探讨和总结。
无穷项和对于有限项和的一些性质应用时要特别小心，比如可结合性来说，我们举个例子，就可以知道，级数对于可结合性不像有限项和的结合律:
振荡级数:
这样得到的新级数和原来的振荡级数不同。
这样得到的又是一个新的级数。
振荡级数本身不收敛，当我们将某些项结合在一起时，就得到了不同的新的级数。
对于收敛级数来说，我们是可以具有结合性的:
考虑收敛级数
用任意方式将它的项联合成若干组，但同时不改变它们的分布位置:
这里的 是从某一个自然数序列中抽出的关于下标的部分增序列。
定理: 从这些和组成的级数
恒收敛，并且具有与原级数相同的和。换句话说: 收敛级数具有可结合性。
这个定理直接从部分和关系就可得出:
新级数的部分和序列: 刚好就是原来的和的部分序列:
注:
下面给一个简单的例子:
确定级数 的收敛性。其中 表示 的整数部分。
我们可以将级数的项列一些出来:
前三项 , , 因此前面三项分别为:
紧接着5项 , , 因此前面三项分别为:
把这些具有相同符号的几个项作为级数的一项，那么得到的是交错级数: (1)
因为有不等式:
前面k个缩所加数为 , 总共k个， 因此前面k个和大于 ; 后面k+1个缩小加数为 , 共k+1个，因此后面k+1个和大于 ，因此左边不等式成立。
同理可以考虑右侧不等式: 左边k个放大为 ；右边k+1个放大为: , 因此右侧不等式也成立。
于是我们知道这个级数的通项趋于0， 就是Leibniz级数，收敛。
前面可结合性，仅仅要求级数收敛即可，但是对于可交换性，我们必须对级数收敛性要求提高，绝对收敛级数才满足可交换性。
假设级数(A)具有和A, 那么我们在级数(A)中以任意方式重新配置级数的项后，我们得到新的级数:
这个级数的每一项 跟原级数的一个确定的项 是相同的。
定理: 若级数(A)绝对收敛，则把它的项重新配置后得到的级数 也收敛，并且具有与原级数相同的和A。换句话说: 绝对收敛级数具有可交换性。
证: 证明过程分两个步骤，第一步骤先证明(A)为正项级数的情形，然后再证明(A)为任意项级数的情形。
(a) 若(A)为正项级数
考虑级数 的任意部分和
因为 因此我们可以取 大于所有的下标
显然有: , 因此更加有 。
这种情况下级数 收敛，并且它的和不超过A: 。
因为级数 , 地位完全对等，它们可以互相重新配置而得到对方，因此有:
综上，
(b) 若(A)为任意项级数
因为(A)是任意绝对收敛级数。
即 (A*)
按照上面证明的，在任意重新配置级数的项仍是收敛的，同时保持(A)的绝对收敛性。
另外，级数(A)绝对收敛情形下，它的和可以表示为 ,
其中P, Q均为正项级数，它们分别是(A)的正项和负项的绝对值组成的级数。重新配置级数，并不影响到它们的和P和Q, 因此级数(A)的和仍然是先前的和，结论得证。
非绝对收敛级数并不具备交换性: 在每个这样的级数中，由于级数的适当重新配置后，可能会改变他的和，或者甚至完全破坏它的收敛性。
假设级数(A)收敛，但非绝对收敛。因此其通项趋于零: 。对于从(A)中分离出来的正项分量和负向分量构成的级数(P)和(Q), 同样有 (2)
但在给定的情形下，它们两个级数都发散。
下面是它们的部分和之间的关系:
(3)
假设(P), (Q)中有一个收敛，不妨设(P)收敛，那么由(3)的第一个式子，我们必然推出(Q)收敛。
而(P), (Q)收敛，由(3)的第二个式子又推出( )的收敛性，即(A)绝对收敛，这与假设的条件矛盾。
若级数(A)非绝对收敛，则无论预先取怎样的数B(有限的或无限的 ), 都可以这样重新配置这级数中的项，使得变形后的级数具有和B。
证:
(a) B为有限的情形。
首先(A)非绝对收敛， 则(P), (Q)都发散，那么可以知道它们的任意余式都发散，这两个级数中的每一个都可以从任何地方开始，收集足够多的项，使得和超过任何一个数。
下面我们对级数(A)的项进行重新配置:
首先取一定数目的正项，保持它们在级数中的次序，使得它们的和超过数B:
然后在它们后面接着写出负项(同样按照它们在级数中的次序), 取足够多的项，使得总和小于B:
之后再放入一些正项，使得和大于B:
然后再收集一些负项，使得和小于B:
如此，按照这种方法不停做下去，显然级数(A)的每一项连同自己的符号，会在一定的位置出现。
根据这种方法，每当写出项p或q, 然后再在后面补充q或p的合适的像，则偏差，按绝对值不会超过最后所写出的项，则级数:
而我们每个括号里边的符号都是相同的，因此，去掉括号不影响级数的收敛性，结论依然成立。
(b) 若
我们只需要选取一个趋于无穷大的序列 , 我们可以收集到遵从我们的要求的正数，使得和依次大于 等等，从而负项收集的数只要一次放在每一个正数组之后，用这种方法，显然会做出具有和为 的级数。
类似地可以构造出来 的级数。
说明: (绝对收敛性与非绝对收敛性的本质区别)
2. 绝对收敛级数的收敛性，则根据这些项的减小速度，而与它们的次序无关。
(4)
重新配置一下这个级数:
(5)
调换后，这个级数的和减少了一半:
分别用 表示这两个级数的部分和，则:
于是
因为 都趋于同一个极限
因此，级数(5)收敛并趋于。
我们知道调和级数的部分和公式为:
(其中 为欧拉常数， )
我们可以推出:
现在把级数(4)的项排成这样的次序: 先放p个正项、然后放q个负项，然后再放p个正项，再放q个负项，如此下去。
(6)
然后我们把轮流p项和q项组合起来，再利用上面我们推导的公式，就可以得到级数的部分和
, 它趋于 ,
另外，很方便可知: 与上面的部分和相差一个无穷小量，也趋于同一个和。
因此，级数(6)的和为 。
有了上面的结论，简单描述一下:
轮流取p个正项、q个负项，得到的级数的和为 ， 这样我们就可以根据这类级数的形式，直接写出其和。
比如我们前面这个级数:
2. , 轮流取1个正项，2个负项，因此和为
3.
4.
关于收敛级数的性质加法部分，我们先整理到这里，后面内容单独再整理，谢谢各位看官大老爷，一起学习探讨~~~~
