牛顿确实是从开普勒三定律出发，结合自己的运动学定律，推导出万有引力定律的，这些内容可在牛顿的《自然哲学的数学原理》一书中找到，上面也有答主贴出了中文译本。不过尽管牛顿创立了微积分，但《自然哲学的数学原理》这本书仍是以平面几何的语言写就的，整本书其实相当晦涩难懂，即便是当时的数学家，也需要撕下来一页一页读，牛顿非凡的数学才能由此可见一斑。倘若今天我们仍然去探讨牛顿的原始证明过程，我认为没多大意义。倒不如将其还原成现代数学语言，还能给大家带来诸多启发。其实很多物理专业的理论力学教材都有这个推导过程，我只是稍微整理一下。
先叙述一下开普勒三大定律：
（1）开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
（2）开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线，在相等时间内所扫过的面积相等。
（3）开普勒第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。
首先根据第二定律，行星和太阳之间的连线，在相等时间内所扫过的面积相等，
意思就是面积速度相等，即 为一常数。
而在极坐标下
设 是行星质量，则由上式可知 为一常数，这其实就是行星的角动量。
角动量守恒意味着行星所受力为有心力，太阳是力心。
接下来就好办了，有心力作用下行星的轨道微分方程很容易由牛顿第二定律导出（推导
过程是平凡的，这里不多赘述），它在极坐标下的形式为
这个公式通常叫做比耐公式(Binet's Equation)。其中 ， 。
引力时 为负号，斥力时 为正号。而由开普勒第一定律可知，轨道方程为
或写成
将其代入比耐公式，得到
似乎这里就已经推出了平方反比定律，但其实不然，因为对每一行星来说，
与 都是不一样的，此时我们需要利用开普勒第三定律。
当矢径扫过全部椭圆后， 。
由前述公式，积分可得 。
这里 便是运动周期。如此下来
根据开普勒第三定律，上式为一常数，令 ,
我们就可以写出，
又由于力的作用是相互的，它实际上应该与 成正比，
即 .所以上式最终可写为
这便是万有引力定律。
