感谢邀请。终于有空来回答这个问题了。
首先
已经总结了很多常用的积分方法了。同时，这些方法也确实非常有力，在面对很多复杂的问题时依然十分强有力。
下面我来补充一下：
1. 适当的展开被积函数然后交换积分与求和。例子可以参考：H.M.Srivastava, Harold Exton, A generalization of the Weber-Schafheitlin integral. 1978. 在此文中，作者计算了：
其中为Bessel函数。这个结论的计算中还用到了一些多变量超几何函数的性质，以及一些技巧性的东西。文章不难读懂，挺有意思的。
2. 依赖于已知的积分和更为复杂的差分算子的作用，我们可以得到很多包含特殊函数的积分。例子可以参考：K.C.Gupta, A.Srivastava, On integrals involving generalized hypergeometric functions, 1970. 在此文中，作者计算了：
事实上，这篇文章的方法的有趣之处在于，作者是通过在积分：
上作用算子：
其中，。
这种方法更多的被应用在和q-series相关的课题中。
3. 利用与积分变换相关的结论，例如：Parseval-Goldstein type identities. 这方面的结论可以参考：Osman Yurekli, A Theorem on the Generalized Stieltjes Transform and its Applications, 1990. 相关的定理和例子比较复杂，就不详细给出了。
2014-8-19 补充~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4. 利用 Ramanujan's Master Theorem 及其相关的结论。这部分的内容我主要参考：T.Amdeberhan, O.Espinosa, I. Gonzalez, M.Harrison, V.H.Moll, A.Straub, Ramanujan's Master Theorem, Ramanujan J (2012) 29: 103-120. 这个结论的最初想法是和计算Mellin变换联系在一起的。
A. 一维的情况：
我们来看一个非常重要的例子：
我们知道超几何函数理论中的一个非常重要的结论就是Mellin-Barnes围道积分表示（实际上就是Mellin变换的逆变换的形式）。通过计算该围道积分（留数定理），我们可以得到一般超几何函数的级数形式。而从围道积分出发来寻求渐近展开也是常用的方法。如果我们想推导一个新的函数的Mellin-Barnes积分表示该怎么做呢？当然就是借助Mellin变换及其逆变换啦，所以Ramanujan的Master Theorem提供了我们一个强有力的工具。
关于一维情况的其他文献有：
1. M.A.Chaudhry, A.Qadir, Extension of Hardy's class for Ramanujan's interpolation formula and master theorem with applications, Journal of Inequalities and Applications (2012).
2. G.Boros, V.H.Moll, The double square root, Jacobi polynomials and Ramanujan's Master Theorem, Journal of Computational and Applied Mathematics (2001)
B. 高维的情况：
既然Ramanujan's Master Theorem如此有用，那么对于多变量的情况是否也有相应的结论呢？答案是肯定的。这里的方法被称之为：The Method of Brackets。这种方法可以描述为：
更多的关于高维的情况可以参考：I.Gonzalez, V.H.Moll, Definite Integrals by the Method of Brackets. Part 1, Advances in Applied Mathematics (2010), 50-73.
我再想想，想到啥不定时更新。。。
