在数论里，费马大定理（或者费马猜想）是说：当是大于或等于三的正整数时:
费马大定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）在1637年提出的，这样一个看似简单的关于整数的问题困扰了数学界350多年，最终由英国数学家Andrew Wiles证明。Wiles的证明在1994年发布出来，于1995年正式发表。Wiles的证明被评价为“惊人的进展”，其中汇集了无数数学家在椭圆曲线、模曲线、Galois表示等方面的成果，也包含了许多突破性和创新性的工作，为后来相关方向的发展和相关问题的解决打下了坚实的基础。
关于费马大定理的历史和发展历程，已经有许多的文献资料（参见[14, 40, 51]及其参考文献），文献[14]的开始部分简略介绍了Fermat、Euler、Germain、Kummer等的成果，并介绍了问题与Faltings、Mazur等研究的关系。在这篇文章里，我们主要介绍Wiles关于模性猜想的证明框架，解释主要结果的证明思路，并通过具体实例描述其应用价值。首先，我们介绍五位数学家以及他们的在这个问题上的深刻观点，正是由于他们的洞察力和贡献，最终导致了Wiles的证明（参见[14, 52]）。
Wiles的方法后来被数学家简化并推广，在了解了证明框架之后，本文的章节4将详细解释相关数学家及其贡献。限于篇幅，本文写作是在假设读者对椭圆曲线、模曲线、模形式、Galois表示等的定义和基本性质有一定了解的基础上。相关预备知识可以参考文献[17, 27, 49, 50]，以及[12]的相关章节。由于这是一篇综述文章，文章中某些结论会强于另外的结论，并且提到的若干猜想随着理论的发展也成为了定理或者部分得到了证明。我们将在相关部分给出注解，也希望这些非标准的风格不会给读者带来困扰。最后时，费马大定理在Euler时代就已经被证明，并且要证明费马大定理，我们可以假设是一个素数。所以，若没有特别说明，在本文中我们考虑为素数。
在章节1中，我们将从Frey的想法出发，把费马大定理的证明一步步归结为模性猜想的证明，并解释Wiles的证明思路。在这部分，我们将集中于上面提到的五位数学家的思路，让读者对大概框架有一定的了解；在此过程中，我们也将介绍费马大定理与Szpiro猜想、abc猜想、Serre模性猜想的关系。在章节2中，我们将介绍Wiles的证明中用到的一个重要工具——伽罗华表示的形变理论，并将模性猜想的证明归结为证明两个特殊环之间的同构，即所谓的定理。在章节3中，我们介绍被Diamond简化后的Taylor - Wiles系统的构造，即所谓的patching过程，并构造一个Diamond - Taylor - Wiles系统来证明定理，从而完成（部分）模性猜想和费马大定理的证明。
在章节4中，我们将介绍Wiles证明方法的若干发展和与模性猜想相关的其它科研课题，包括BSD猜想，Kisin的patching，Fontaine - Mazur猜想，Breuil - Mézard猜想等。
在这小节里，从方程的的假设解出发，我们构造一条椭圆曲线。
对任意的两两互素的非零整数数组若，Gerhart Frey [23]构造了一条椭圆曲线其对应的Weierstrass方程为。对我们而言，假设费马方程有非平凡整数解，即，则令这样我们得到椭圆曲线。不失一般性，我们假设。对于曲线，直接计算容易得到下面的结果。
引理1.1 令为素数，令，为两两互素的非零整数且满足：，。假设，则椭圆曲线是半稳定的，并且其最小判别式和导子由下面的公式给出：
一般情况下，对于定义在上的椭圆曲线，其极小判别式和导子被相同的素数整除，因而我们有理由怀疑极小判别式和导子之间有密切的联系。Szpiro猜想给出了一种可能的关系（参见[58]）。
这里，和分别是的极小判别式和导子。 通过引理1.1不难看出，如果假设Szpiro猜想成立，则对足够大的，费马大定理成立。
这里我们简单介绍abc - 猜想和费马大定理的关系。首先我们回顾一下Oesterlé和Masser给出的abc - 猜想的具体内容（参见[28]）。
这个猜想和费马大定理有什么关系呢？假设我们有两两互素的正整数，，，满足。如果猜想1.3成立，容易得到对任意，。令，且，得到。于是我们证明了当时，方程只有有限多正整数解。
更强形式的abc - 猜想提出，猜想1.3对成立。这时，类似上面的推导告诉我们时，没有正整数解。而当时，十九世纪初数学家就证明了费马大定理是成立的（参见[40]）。
记是有理数域在复数域中的代数闭包，记并且给Krull拓扑。
如果表示在每个处都是半稳定的，我们便称是半稳定的。
伽罗华表示在数论和几何中自然出现，且这些伽罗华表示都有着良好的性质。令是定义在上的代数簇，则的etale上同调群就给出了伽罗华表示，且这个伽罗华表示在除了有限个素数外都是非分歧的。特别地，当是交换代数簇时，我们可以从其Tate模来构造伽罗华表示。这时令。这里，在上有自然作用。从而我们从构造出一个进的伽罗华表示。令，这个表示给出了伽罗华群在上的作用。更特别地，若是一条椭圆曲线，这时，我们有下面的结果（参见[45]）。
现在令是我们在节1.1.1中构造的椭圆曲线，从而我们得到伽罗华表示。Gerhart Frey [22, 23]和Jean - Pierre Serre [45]证明了这个表示有着非常特殊的性质。
注1.9 上世纪80年代，数学家怀疑满足条件(1)-(4)的伽罗华表示是不存在的。Ribet的结果（参见[41]，定理1.21）告诉我们，满足条件(1)-(4)的伽罗华表示必定不是模性的（定义1.16）；Khare - Winterberger证明了Serre模性猜想后（参见[31, 32]，猜想1.22），这类表示的不存在性得到证实。从这个方向来说，我们给出了费马大定理的另一个证明。
令为定义在上的椭圆曲线，的函数定义为
令表示权重为、水平为、特征为的尖形式组成的空间。（为方便起见，若的水平为，我们也称的水平为）令为一个特征形式，为的级数展式。的函数定义为
具体地说，我们有下面的结果。
注1.11 事实上，Eichler - Shimura的构造比上面的结果要更一般。具体地说，若，Eichler - Shimura构造了一个Abel簇，它是模曲线的Jacobian的商簇，并且其维数是，这里是的所有Fourier系数生成的域，是的一个有限扩张。特别地，若的系数都是有理数，构造出来的Abel簇是一维的，即为椭圆曲线。
粗略地说，定理1.10是指我们可以从一个新形式构造出一条椭圆曲线，而模性猜想是说我们也可以从一条椭圆曲线构造出一个新形式。
注1.14 在数学文献中，模性猜想也称为Weil - Shimura - Taniyama猜想或者Shimura - Taniyama猜想。
由Eichler - Shimura的构造，从一个权重为的新形式出发，我们可以构造出一个交换代数簇，这个交换代数簇是型的。考虑此交换代数簇的Tate模，我们便得到一个维的伽罗华表示。这个从新形式到伽罗华表示的关系后来被数学家推广。具体地说，我们有下面的结果。
令为Hecke代数。注意到一个权重为、水平为的新形式对应到的一个极大理想，即映射的核。这诱导我们给出下面的定义。
现在我们可以给出模性猜想的若干等价形式。
Wiles 于 1995 年证明了如下结果。
5 年后，Breuil、Conrad、Diamond、Taylor 合作证明了完整地模性猜想，从而模性猜想成为了定理。
注1.20 在节 4.2.1 中，我们将解释为什么这两个结果中间有 6 年的发展期。
在Mazur、Serre等研究的基础上，Ribet [41]证明了如下结果。
上面猜想1.22是Serre模性猜想的一部分。其另外一部分(强形式)通过的局部结构，预测了满足的新形式的所有可能的水平和权重。Serre模性猜想已经被证明，参见文献[31,32]。文献[30]中，Khare简单介绍了猜想1.22的证明，以及猜想和Fontaine - Mazur猜想、预模性提升猜想等的联系。
下面利用定理1.18和定理1.21，我们用反证法来证明费马大定理。假设，并假设有非零整数，，满足。不失一般性，我们设且。令是由方程定义的椭圆曲线，是由的Tate模给出的进伽罗华表示。 由引理1.1，是半稳定的且其导子为。于是由定理1.18，是模性的。从而存在一个权重为、水平为的新形式使得。由定理1.8，表示是绝对不可约的，并且在外非分歧，在处平坦。不断使用定理1.21，我们得到一个权重为水平为的新形式，满足。但是等于模曲线的亏格，而这个亏格是。这个矛盾就说明费马大定理成立。
伽罗华表示的形变理论由Mazur开始研究发展，是Wiles证明中最重要的工具之一，在数论其它相关问题的研究上(如进Hodge理论、进局部Langlands对应等)也有重要应用。在这一节里，我们介绍形变理论的基本概念和性质，并将定理1.18的证明归结为证明两个环之间的同构。关于伽罗华表示形变理论的更多内容，读者可参阅文献[27,38]等。 为了方便读者，我们先确定一些在本节里使用的记号：
这里，是典范投射。
现在我们定义形变函子，。 令是定义在上的函子。任取，我们都有。对任意，典范映射诱导了映射，并且它们组成一个反向系统。于是我们得到一个典范映射。
假设我们考虑的范畴中纤维积是存在的。令、、是范畴中的三个对象且有态射和。考虑纤维积，有映射。 若是定义在这个范畴上的函子，我们得到如下的交换图。 纤维积的泛性质告诉我们，存在唯一的一个映射，使得下面的图表交换
可表的函子显然满足Mayer - Vietoris性质。另一方面，我们有下面的定理(参见[29])。 定理2.7 (Grothendieck). 令是一个协变函子且是一个单点集。那么是pro - 可表的当且仅当下面两个条件成立： >1. 满足Mayer - Vietoris性质； >2. 是一个有限集，这里为对偶数。
注2.8 在中，纤维积总是存在的；在中，纤维积不一定存在。这是我们考虑范畴的一个主要原因(参见[38, Section 14])。 注2.9 定理2.7的证明并不难，但是应用起来并不方便，主要是验证Mayer - Vietoris性质时需要考虑所有纤维积。在我们的学习中，一个更方便的判别可表性的准则是下一节的Schlessinger判别法。
令是一个协变函子，且是一个单点集。令，，且有态射，。令是纤维积。如上节所述，我们有自然的映射。
这里是的极大理想。 现在我们可以列出Schlessiger判别条件： H1 若是小映射，那么映射是满射； H2 若，，那么映射是双射； (如果H2成立，这时容易说明是一个线性空间，我们称之为的切空间。) H3 线性空间是有限维的； H4 若，都是小映射，那么映射是双射。 我们有下面定理(参见[37,44])。
现在我们将Schlessinger判别法则运用到形变函子上。
我们有如下结果。
例2.15 这里我们考虑最简单的形变函子:的情形。这时是一个一维表示。令为的完备化的交换化，令为典范投射。令为在上的完备群环，即，这里遍历的所有指数有限的正规开子群。我们有自然的映射，。注意到，可典范提升为。有了这些准备工作，容易验证的泛形变环是，对应的泛形变是。
在这一节里，我们固定一个表示满足，于是其对应的形变函子是可表的。令为泛形变环，为泛形变。我们首先考虑的切空间，由可表性我们得到。更进一步分析，令是在上的一个形变，则有。这里我们通过典范映射将视为的子集，。换句话说，诱导了一个映射。另一方面，我们知道是一个同态，这个条件告诉我们是一个上链。这里在上的作用为共轭作用。不难验证，上面的对应关系给出了一个线性空间同构。 标准的方法也告诉我们。我们有。令由方程可知：
换句话说，我们有短正合列。一个自然的问题是:是不是平凡的？若平凡，那么即是一个级数环，结构简单。但实际情况却比较复杂。
更进一步，如果，那么上面的不等式为等式，并且。若，我们也称相关的形变问题是无障碍的。另一方面，我们有如下猜想。
令是一个次数为的数域，是的有限个素理想组成的集合。我们假设且。令是的在外非分歧的极大扩张的伽罗华群。注意到满足有限条件。令是一个连续表示且。于是其对应的形变函子pro - 可表，我们有泛形变环和泛形变。由上节的结论，我们知道可以由个元素生成。这时的是伽罗华上同调群的维数，我们有许多伽罗华上同调群的定理来研究它。具体地说，利用Tate的整体欧拉示性数公式(参见[59])，我们可以给出的一个比较容易计算的下界。若是一个有限模，且，欧拉示性数公式是说。 在我们考虑的情形里，，从而是的幂次。由假设条件，我们可以运用欧拉示性数公式得到
令于是。由条件知。我们于是证明了下面的结果。
命题2.19 令是的次扩域，令是一个表示且满足，令是对应的泛形变环。则有
注意到上面不等式的右边相对来说容易计算:的阶为或者，取决于是复的或是实的；对应到模的不变子集。下面我们计算两个具体例子。
例2.20 。这时是一个一维表示。由例2.15，我们知道。从而。所以。由命题我们马上得到。这个不等式从伽罗华理论亦不难得出。值得说明的一点是维数猜想是说上面的不等式实为等式，而这个论断等价于Leopoldt猜想。
例2.21 。这时。假设。这时对于复共轭由于且，只有下面两种可能或。第一种情形，，我们称之为偶的；第二种情形，，我们称之为奇的。这时不难看出，在偶的情形下，；在奇的情形下，。从而由命题2.19知
很多时候，我们需要的并不是表示的所有形变，而是其中满足某些特定条件的形变。哪些条件比较合适，可以得到形变函子的子函子？由函子性，我们给出下面的定义。
命题2.23 记号如上。函子满足Schlessinger判别法则中的条件。若有，则也满足；从而可表，且其对应的泛形变环是泛形变环的一个商环。 接下来我们给出一些形变条件的例子。
例2.24 (具有给定行列式的形变). 令是一个连续同态。对任意代数，令是下面的复合映射。我们称的一个形变有行列式，如果。我们将性质有行列式简记为，它有下面的性质。
例2.25 (范畴化形变). 令是由长度有限的、具有作用的 - 模组成的范畴，令是的满子范畴，并假设在取子对象、商对象、有限直和下都是封闭的。给定，我们说的一个形变是型的，如果对任意，表示都对应到中的一个对象。 假设是型的，那么性质表示是型是一个形变条件。这里一类非常重要的例子来自进Hodge理论，而在Wiles的证明里，最重要的例子是要求表示是平坦的(定义1.6)。
例2.26 (正规形变). 正规形变最初是Mazur在研究形变理论和Hida的正规进模形式理论时提出来的。令是一个系数环，是一个子群。令是一个表示，并记是给出的自由模。我们说是正规的，如果是一个秩为一的模且是的一个直和项。 假设是正规的，那么性质表示是正规的是一个形变条件。对于伽罗华表示，参见定义1.6。
回到我们最感兴趣的情形。令是一个表示。一个整体伽罗华形变问题是指形变函子的一个子函子，对每一个有限素数，局部表示都给出一个形变条件。
在可表的情况下，我们想要了解满足性质的所有的形变，只需要了解其对应的泛形变环；而要了解泛形变环，第一步便是了解函子的切空间维数，因为这个维数告诉我们环可以由多少个元素生成。令对应到函子的切空间，我们有如下结果。
这里水平箭头都是包含关系。更进一步，这个图是Cartesian的。
假设令。任意一个特征形式对应到一个同态模之后得到同态。这个同态的核是Hecke代数的一个极大理想。令是在处的完备化。由伽罗华表示模性的定义，我们知道给出所有的的从权重、水平模形式得到的形变。从而我们有满射。如果这个满射是同构，即是说的所有形变都是模性的，这与事实不符。另一方面，我们可以从模性形变的性质出发，找出形变条件，并得到满射。Wiles的证明中一个很重要的工作是找到了精准的形变条件，使得上面的满射是同构。我们在下面会详细介绍这个条件。
回到定理1.18，我们要证明半稳定的椭圆曲线是模性的，由定理1.17，即要证明对某个，伽罗华表示是模性的。注意到是的满足若干条件的形变（定理1.7），Wiles的思路即是证明满足这些条件的所有的的形变都是模性的，从而必定是模性的。
令是一个伽罗华表示。假设满足下列条件：
令在处分歧，是有限个素数组成的集合且。考虑的整体形变问题：
这个整体形变问题给我们一个泛形变环。方便起见，若是一个由有限个素数组成的集合，我们用同一个字母表示集合中素数的乘积。令是完备化的Hecke代数，且给出所有的由权重为、水平为的模形式构造出来的形变。由定理1.15，我们有满射。Wiles证明了如下结果。
注2.31：当是半稳定的，Serre的一个结果[46, Prop. 21]告诉我们：对所有，要么是满的，要么是可约的；从而这时不可约等价于绝对不可约。更进一步，若，绝对不可约等价于绝对不可约。所以时，推论2.30的条件可以放松为：是模性的、不可约的。
Langlands - Tunnell（参见[36, 57]）对模的伽罗华表示证明了如下的结果。
注2.33：上面的定理是Langlands - Tunnell结果的一个特殊情况，他们的主要工具是迹公式和Base change的技巧，属于自守表示的范畴。我们简单解释其内容：
现在还有一个问题：有可能是可约的。这时候没有办法运用上面的结果。Wiles从Mazur的一个结果出发（参见[42]），利用所谓的变换技巧解决了这个困难。
注2.35：假设和都是可约的，那么有一个阶子群在伽罗华作用下不变，于是对应到模曲线中的一个点。然而集合是一个有限集，其对应的椭圆曲线在处都不是半稳定的。参见[42, Lemma 9]。
注2.37：在[42, Section 4]中，Rubin构造了一组椭圆曲线满足定理2.36的两个条件，所有曲线在之外都是半稳定的。在这组曲线里取一条在进意义下非常靠近的曲线，这条曲线即满足定理2.36中的所有条件。
当我们考虑的时候，需要了解的性质，对此，我们有下面的结果（参见[42, Proposition 7]）。
命题2.38：令是一条椭圆曲线，在处半稳定，且不可约，那么绝对不可约。
现在，利用上面的结果，我们可以证明定理1.18。
定理1.18的证明：令是一条半稳定的椭圆曲线。若是不可约的，那么由定理2.32可知是模性的。若是可约的，那么是不可约的；存在半稳定的椭圆曲线满足定理2.36中的两个条件；将定理2.32运用到上，我们知道是模性的，从而是模性的；最后将推论2.30运用到上，得到是模性的。
在这一节里，我们通过构造所谓的Diamond - Taylor - Wiles系统来证明定理2.29。这里我们不采用Wiles最初的证明，而是采用Faltings、Diamond、Fujiwara等简化后证明（参见[16, 24]）。两个方法的思路基本一致，只是细节稍有区别。在了解了更多内容后，我们将在节4.2.3中解释它们的区别。
定理2.29的证明分为两个部分。第一个部分是的情形，即所谓的极小情形，这里我们的工具是定理3.1。第二个部分是一般情形，简单地说，我们利用定理3.3，对中的元素个数做归纳法。
这里我们给出一个判别特定模的自由性的交换代数结果，这个结果最开始由Wiles和Taylor - Wiles提出，然后由Faltings和Diamond简化（参见[56, 60, 16, 24]）。
给定正整数。令，令是的极大理想。
证明：令并取定的一组基。对每一个和选取使得。由Nakayama引理，构成的一组基。利用，的模结构给我们一个代数同态。对每一个和选取的提升。注意到是紧的，序列有一个收敛子列。选取一个极限点容易验证，、、都可延拓为代数同态。另一方面，我们有交换图 这里和为自然映射，通过分解，由在上的作用给出。上面的构造同时也给了我们一个上的秩为的自由模，记为。同时我们有
由Auslander - Buchsbaum - Serre定理（参见[7, Theorem 2.2.7]），作为模的投射维数是有限的。由Auslander - Buchsbaum公式（参见[7, Theorem 1.3.3]），我们有。从而，即是一个自由模。故是一个自由模，且诱导了同构。从而定理结论成立。
在这一节里，是一个完备的离散赋值环，和分别是的素元和剩余类域。选定一个系数环以及一个同态。令和。
当是Gorenstein时，这个结果最初由Wiles证明；一般情形由Lenstra证明。Diamond从这个结果出发，给出了下面的数值判别法（参见[16]）。
证明：
上面的讨论告诉我们且。由于， - 模是的商模，从而可以由个元素生成且被零化。故是秩为的自由模。令，是的极大理想，。由于是Gorenstein我们知道。空间。由于是无扰的，是维的向量空间。取使得，定义映射 。令。由于，故，进而得到，是单射。由于两边的对象的维数相等，故是同构，从而是上秩为的自由模。
现在我们回到节2.4给出的和形变问题，并为之构造一个Diamond - Taylor - Wiles系统。
令，令。局部形变条件给出了有限奇异结构。定义Selmer群。由形变理论，我们知道。即作为代数，可以由个元素生成。定义对偶Selmer群。尽管Selmer群和对偶Selmer群自身的大小很难计算，它们之间的关系并不复杂。由Tate - Poitou正合列（参见[59]），我们有下面的定理。
在我们考虑的情形下，直接计算可以得到。Wiles的一个重要发现是我们可以选取特别的，使得，从而很好地控制。具体地说，我们有下面的结果（参见[48, 60]）
证明：注意到。我们只要证明对任意的，都存在无穷多，满足：
然后我们可以一步步把的维数减少一，直到。由Cebotarev密度定理，我们只要证明存在满足：
事实上，若我们找到了这样一个，令是一个素数满足，这里是的一个有限扩张，且包含和及的分裂域；是的一个素理想且。这个便满足所需条件。
令是对应的的扩张，是对应的的扩张，，。又对应到中的数乘矩阵，我们有。
由[48, Lemma 19]，。于是。由于不可约，从而不可约。又由于是的不变子空间，从而必有。
假设对任意的，的两个特征值都相等，从而可以选定一组基，使得包含在上三角矩阵中。这会与的不可约假设条件矛盾。所以我们选取，使得的两个特征值不相等，记它们为，。
作用在上，的特征值为，1，。由于作用在单位根上是平凡的，作用在上，的 signalling 特征值也为，1，。从而，故。
现在令并考虑。注意到在和上的作用都是平凡的。由于是数乘矩阵，的两个特征值是不同的，且。现在。我们总是可以选取，使得，从而命题得证。
选取素数的集合，满足：
若，令是的极大的阶为的幂次的商群。记。定义。考虑模曲线和及其上同调群和。令和分别是对应的Hecke代数。令是由下面映射的核给出的Hecke代数的极大理想或
为方便起见，记。我们有下列结果。
对任意正整数，取素数集满足：
由的选取，泛形变环可以由个元素生成。令，则也可以由个元素生成。由此我们定义映射。另一方面，由引理3.6，我们知道是一个-代数，我们有自然的映射，并且由构造知的极大理想的像是平凡的。由的定义，我们可以选取-代数的满射。
定义，使得下面的图表交换 。 定义是复合映射。令，由上节的结果，这些对象满足定理3.1中的条件，所以得到
令是复合映射，令并通过视为-模。我们验证满足定理3.3中的第一个条件。首先注意到，这里；并且。这里。所以我们需要验证，对，。
注意到由极小情形，上面的不等式对是成立的。另一方面，我们可以利用伽罗华上同调来描述，从而容易得到。于是我们只需要证明。再简化，我们只需要证明。而这个是Ihara引理的推论（参见[60, 54]）。从而我们完成了定理的证明。
Birch和Swinnerton - Dyer猜想（下面简称BSD猜想）将椭圆曲线的函数和它的许多算术不变量联系起来。为简单起见，我们假定椭圆曲线定义在有理数域上。令是一条椭圆曲线，令是由的一个极小Wieerstrass方程给出的不变微分。定义。对每一个素数，定义。这里是光滑的}。注意到若在处有好的约化，那么，从而有意义。
BSD猜想是七个千禧年问题之一，其在数学上的重要性不言而喻，在Clay Mathematics Institute的官方网页上可以查阅到更多信息。模性猜想与BSD猜想也有紧密联系：在BSD猜想最开始提出来的时候，数学家并不能证明对一般的椭圆曲线，可以延拓到整个复平面上；到目前为止，我们也不能证明总是有限的。正如Tate在1974年提到：“this remarkable conjecture relates the behavior of a function L at a point where it is not at present known to be defined to the order of a group X which is not known to be finite!”
Eichler - Shimura证明了若椭圆曲线是模性的，那么这里是某个新形式，故是可以延拓的；从而模性猜想的证明告诉我们总是可以延拓的。所以BSD猜想第一个等式的左右两项都是有意义的。文献[49, Section C16]对这个猜想作了更详细的介绍，并提供了更完整地文献资料。
Sato - Tate猜想是关于模形式系数分布的猜想。令是一个权重为、水平为的（规范）新形式。设的Fourier展式为。Ramanujan猜想指出：若，则。这个猜想已经被完整证明：时由Deligne - Serre证明；时由Eichler - Shimura证明；时由Deligne证明。
当，由在处的Euler乘积项，我们给出等式。于是。从而我们可以将和表示为，。这里。
我们的问题是：在区间是怎么分布的？换一种说法，令。在区间是怎么分布的？Sato - Tate猜想描述了这个分布。
Sato - Tate猜想最初是关于椭圆曲线的，但是模性猜想告诉我们，定义在有理数域上的椭圆曲线对应到权重为2的新形式，所以我们在上面直接给出了关于模形式的Sato - Tate猜想。这个猜想在一般全实域上也有推广，在某些情况已经被证明。对于猜想的推广和被证明的情形，参见文献[1, 2, 55];对于猜想的一个更具体形式--Lang - Trotter猜想，参见[49, Conjecture 4.8]。
一维的Fontaine - Mazur猜想基本等价于类域论。二维Fontaine - Mazur猜想的一部分等价于：若是单的、不可约的、几何的表示，那么是模性的。这个情形被Emerton、Kisin、Colmez等证明，参见文献[19, 34]。
Wiles的结果定理1.18并没有证明完整的模性猜想，而是证明了半稳定的椭圆曲线是模性的。为什么有半稳定这个条件？回到Wiles的证明：从一个模性的表示出发，考虑的满足条件的所有形变，得到泛形变环，考虑所有的模性形变得到泛形变环。这里我们选取使得所有的模性形变满足条件，从而得到满射。最后证明这个满射是个同构。
在这个证明里，我们需要选取一个好的形变条件，节2.4中的条件满足了这个要求：半稳定的椭圆曲线对应到半稳定的伽罗华表示。如果我们要放松半稳定的条件，那么我们需要选择一个形变条件，这个形变条件要足够强，从而我们得到泛形变环的维数合适；这个形变条件要足够弱，至少要包含半稳定这个条件。在的情形下，这个问题被Diamond解决（参见[15]）。Diamond的主要结果是说：若在3和5处都是半稳定的，那么是模性的。这个条件弱于定理1.18的条件，而这个条件的存在当然还 是因为我们需要运用3 - 5变换技巧。
在1990年代，要证明模性猜想，总绕不开3 - 5变换技巧。注意到半稳定条件是指椭圆曲线有好的约化或者乘法约化。若在3处有非常坏的加法约化，（比如其导子被3的很高幂次整除，）这将在中体现出来，其导子也会被3的很高幂次整除，从而对其它的，在3处也不好控制。这时如上所说，我们需要一个好的形变条件，它足够弱，包含了和在处很坏的情形；它足够强，使得对应泛形变环的维数足够小，从而Taylor - Wiles的方法可以用上。从这个角度来说，我们需要推广平坦这个条件。但是在Wiles年代，进Hodge理论还不够完善，没有足够成熟的工具供当时的数学家使用。
在上一节我们提到，要证明完整地模性猜想，我们需要运用 Langlands - Tunnell 的结果，从而必须考虑的情形。所以我们考虑的椭圆曲线必须在 3 处有可以控制的约化 情况。我们将这一情形一般化。考虑不可约的、模的局部伽罗华表示，这个表示给了我们泛形变环，这个环太大导致我们不能使用Taylor - Wiles方法。于是我们考虑的有限平坦形变，得到泛形变环，而这个环正好满足了Taylor - Wiles方法的条件。
形变条件的定义中，第一条便是要满足这个条件，这样便要求或者满足这个条件：在和处不能“太坏”。在推广这个方法的过程中，我们考虑预有限平坦这个条件：即表示在限制到子群上是有限平坦的，这里是的一个有限扩张。这个时候，我们需要对上的有限平坦群概型有一个很好地分类结果来计算相应的形变环的维数。而在是野分歧时，这样的分类结果在1995年前后是不存在的。
为了解决上面提到的困难，Conrad - Diamond - Taylor [13]提出了一个新的想法。我们不去考虑由形变条件给出来的泛形变环，而是考虑有类似泛性质的环：首先我们考虑形变，这里是的有限扩张的整数环。这样我们可以考虑的 - 进Hodge性质，如：Hodge - Tate，de Rham，potentially semi - stable，crystalline等等。这些性质对一般的形变而言是没有意义的。更进一步，若是potentially semi - stable，那么其对应的Fontaine模是一个两维的线性空间，在其上有一个的作用，这样得到一个表示，我们称之为型(type)。所以我们可以固定一个型，考虑所有的potentially semi - stable、型为的形变。
这样我们得到的并不是一个形变条件，从而也不会得到泛形变环。但是我们会得到一个具有类似泛性质的环。考虑的泛形变环，考虑所有映射，如上。从泛形变复合上我们得到形变。我们称是型的，若是potentially semi - stable、 - 型的。这里我们还可以加上其它条件：如potentially Barsotti - Tate，或者等等。
定义，这里遍历所有 - 型的理想。从几何上看，在泛形变空间中，我们考虑包含所有 - 型素理想的闭子概型。并不 是一个泛形变环，但是当我们考虑如上形变问题的时候，是一个很自然的研究对象。
这里有一个问题，就是所有的型点是否组成一个闭集？令是所有型点组成的集合，是其在形变空间中的闭包。中的点同样给我们伽罗华表示，这样的表示我们称之为弱 - 型的。在[43]中，Savitt证明了弱 - 型和 - 型是等价的条件。
回到模性猜想的证明，利用环，经过计算的维数，Conrad - Diamond - Taylor证明了如下结果（参见[13]）。
在几乎同一时间，Christo对进域上的有限平坦群概型作出了完整地分类，这个结果和上面CDT的想法结合在一起，最终导致了模性猜想的完整证明（定理1.19）。
首先我们简单讲讲patching这个过程的发展。在Wiles最开始的证明中，所谓的patching的对象是形变环和Hecke代数，从而在其证明中，我们需要先知道对应的模是有限自由的，并且需要知道泛形变环是Gorenstein（参见[48, 60]）。在这篇文章里，我们采用的是Diamond改进后的方法，patching的对象是模，而有限自由的结构作为一个副产品在证明的过程中得到了（参见定理3.1）。
在Kisin [33]之前，这已经是最佳的证明模性问题的方法。在上一节我们也看到，在这个方法里，我们需要计算环，这个环很难控制，并且在实际操作中并不会给出我们需要的维数。BCDT的证明能成立在于我们只考虑3处的形变，这个时候所有相关的环都可以明确写出来。事实上，正是由于这些计算，Breuil - Mézard [6]给出了一个猜想，描述了的模的Hilbert - Samuel重数和对应的表示论不变量之间的关系。
文章[33]虽然直到2009年才发表，但是2004年左右就已经发布了。Kisin的新想法是说：与其对 - 代数来考虑我们的问题，这时需要了解的性质，不如直接考虑 - 代数。这时的patching过程中，我们不需要证明的切空间是一维的，只需要知道是一个Krull维数为2的整环。更进一步，如果我们知道所考虑的形变都在同一个分支上，我们可以只选取的一个不可约分支。
当然，若是不可可约的，Kisin的方法不会有任何问题。如果有多个不可约分支，在某些特殊情况下，Kisin采用了所谓的“component - hopping”技巧。在[33]中，Kisin证明了如下的模性定理。
注意到这里我们并没有对的型做任何要求，这正是这个定理强大的地方。这个方法最终导致了Breuil - Mézard猜想的证明（参见[35, 26]）。另一方面，由于缺乏对形变环的足够了解，Kisin的patching方法不能得到的结果，而是得到的结果。
到目前为止我们只考虑了关于的表示的模性提升。事实上，数学家们早就意识到全实域上的模性定理在数论上也有重要意义，这时我们可以采用基变换的技巧[36]而得到有理数域上的信息。早期Carayol的一个结果[10, Section 0.8]证明了一个定义在上的模性的椭圆曲线的导子等于对应的新形式的水平。尽管这是关于的一个结论，但是证明中运用了全实域上的Hilbert模形式。
我们简单介绍一下全实域上的Serre模性猜想。令是一个全实域，，是一个二维的连续表示。我们称是全奇的，若对任意的复共轭，都有。
由于这个猜想与猜想1.22类似，所以尽管这个猜想不是Serre提出来的，也被称为Serre模性猜想。如果我们能证明这个猜想，那么就能得到全实域上的椭圆曲线的模性。关于这个猜想的更多细节，以及这个猜想和模的Langlands对应的联系，可以参考文献[9, 25];关于全实域上的椭圆曲线的模性，就作者了解到的情况而言，比较完整的结果是[21]中，Freitas - Le Hung - Siksek证明了实二次域上的椭圆曲线都是模性的。
Freitas - Le Hung - Siksek的证明运用到了很强的模性提升定理，同时也推广了3 - 5变换技巧，我们概括一下这个证明的主要步骤。令是一个全实域，是一条椭圆曲线，是由给出的伽罗华表示。令。
Step 1：综合[33, 25, 5]的结果，Freitas - Le Hung - Siksek证明了：若是模性的，且是绝对不可约的，那么是模性的。
Step 2：令或者5，若是绝对不可约的，那么是模性的。
注意到模曲线有无穷多的实二次点，考虑3 - 5变换不足以证明实二次域上的模性猜想，对此我们需要更进一步。
Step 3：令，若是绝对不可约的，那么是模性的。
Step 4：找出所有的定义在实二次域上的，使得对 都绝对可约的椭圆曲线。这样的曲线对应到27条模曲线上某一点。Freitas - Le Hung - Siksek一一证明了这些例外曲线的模性，从而完成了整个证明。
若我们考虑椭圆曲线的预模性，则有如下的完整结果。
在Kisin的patching方法出现后，Taylor就意识到上面的结果是可证的，不过当时Taylor将精力集中在Sato - Tate猜想上。尽管在2005年左右，证明定理4.9的工具已被大家掌握，第一个发表的证明由Wintenberger在[39]的附录中给出。定理4.9在高维的推广可参见文献[2]。
[1] T. Barnet-Lamb; T. Gee; D. Geraghty; R. Taylor: Potential automor phy and change of weight. Annals of Math 179 (2014), 501-609. [2] T. Barnet-Lamb; D. Geraghty; M. Harris; R. Taylor: A family of Calabi-Yau varieties and potential automorphy 2. P.R.I.M.S. 47 (2011), 29-98. [3] C. Breuil: Groupes p-divisibles, groupes finis et modules filtrés. Ann. of Math. (2) 152 (2000), 489-549. [4] C. Breuil; B. Conrad; F. Diamond; R. Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises. J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), 843-939. [5] C. Breuil; F. Diamond: Hilbert modular forms modulo p and values of extensions between Galois characters. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 47 (2014), no. 5, 905-974. 47 [6] C. Breuil; A. Mézard: Multiplicités modulaires et repreésentations de GL2(Zp) et de Gal(QpQp) en l = p.DukeMath.J.115(2002), 205-310. [7] W. Bruns, J. Herzog: Cohen-Macaulary rings. Cambridge Studies in Adv. Math. 39, Cambridge University Press, Cambridge (1986). [8] K. Buzzard: Potential modularity–a survey. In Non-abelian fundamen tal groups and Iwasawa theory, 188–211, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 393, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012. [9] K. Buzzard; F. Diamond; F. Jarvis: On Serre’s conjecture for mod Galois representations over totally real fields. Duke Math. J. Vol. 155, no. 1, 2010, 105-161. [10] H. Carayol: Sur les representations l-adiques attachees aux formes mod ulaires de Hilbert. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 296 (1983), no. 15, 629–632. [11] L. Clozel; M. Harris; R. Taylor: Automorphy for some l-adic lifts of automorphic mod l representations. Pub. Math. IHES 108 (2008), 1 181. [12] G. Cornell; J. H. Silverman; G. Stevens: Modular forms and Fermat’s Last Theorem. Springer 1997. [13] B. Conrad; F. Diamond; R. Taylor: Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations. J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), no. 2, 521–567. [14] H. Darmon; F. Diamond; R. Taylor: Fermat’s last theorem. In Elliptic curves, modular forms and Fermat’s last theorem (Hong Kong, 1993), 2-140, Int. Press, Cambridge, MA, 1997. [15] F. Diamond: On deformation rings and Hecke rings. Ann. of Math. (2) 144 (1996), no. 1, 137–166. 48 [16] F. Diamond: The Taylor-Wiles construction and multiplicity one. In vent. Math. 128 (1997). no. 2, 379–391. [17] F. Diamond; J. Shurman: A first course in modular forms. Graduate Texts in Mathematics, 228. Springer-Verlag, New York, 2005. xvi+436 pp. ISBN: 0-387-23229-X. [18] M. Dickinson: On the modularity of certain 2-adic Galois representa tions. Duke Math. J. 109 (2001), no. 2, 319-382. [19] M. Emerton: Local-global compatiblity in the p-adic Langlands program fro GL2. http://www.math.uchicago.edu/~emerton/pdffiles/lg. pdf [20] J-M. Fontaine; G. Laffaille: Construction de representations p-adiques. Ann. Sci. ecole Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 4, 547-608 (1983). [21] N. Freitas; B. V. Le Hung; S. Siksek: Elliptic curves over real quadratic f ields are modular. Inventiones Mathematicae, 201 (1): 159-206. [22] G. Frey: Links between solutions of A B = C and elliptic curves. In Number Theory, proceedings of the Journees arithmetiques, held in Ulm, 1987, H. P. Schlichewei, E. Wirsing, editors. Lecture Notes in Mathematics 1380. Springer-Verlag, Berlin, New York, 1989. [23] G. Frey: Links between stabel elliptic curves and certain Diophantine equations. Ann. Univ. Saraviensis, Ser. Math. 1 (1986), 1-40. [24] K. Fujiwara: Deformation rings and Hecke algebras in the totally real case. http://arxiv.org/abs/math/0602606 [25] T. Gee: Automorphic lifts of prescribed types. , Mathematische Annalen 350 (2011), 107-144. [26] T. Gee; M. Kisin: The Breuil-Mézard conjecture for potentially Barsotti-Tate representations. Forum of Mathematics Pi, 2 (2014), e1, 56 pp. 49 [27] F. Q. Gouvêa: Deformations of Galois representations. IAS/Park City Mathematics Series, Vol. 9, 2001. [28] A. Granville; T. J. Tucker: It’s as easy as abc. Notices of the American Mathematical Society, 2009, 49 (10): 1224-1231. [29] A. Grothendieck: Technique de descente et théorèmes d’existence en géomérie algébrique. II. Le théorème d’existence en théorie formelle des modules Séminaire Bourbaki, Vol. 5 (Paris), Soc. Math. France, 1995, Exp. No. 195, 369-390. [30] C. Khare: Serre’s modularity conjecture: a survey of the level one case. in L-functions and Galois representations, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 320, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, 270-299. [31] C. Khare; J-P. Wintenberger: Serre’s modularity conjecture. 1 Invent. Math. 178 (2009), no. 3, 485-504. [32] C. Khare; J-P. Wintenberger: Serre’s modularity conjecture. 2 Invent. Math. 178 (2009), no. 3, 505-586. [33] M. Kisin: Moduli of finite flat group schemes, and modularity. Ann. of Math. (2) 170 (2009), no. 3, 1085-1180. [34] M. Kisin: The Fontaine-Mazur conjecture for GL2. J.A.M.S. 22(3) (2009) 641-690. [35] M. Kisin: The structure of potentially semi-stable deformation rings. Proceedings of ICM 2010, Vol. II, 294-311. [36] R. P. Langlands: Base change for GL2. Annales of Math. Studies, vol. 96, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1980. [37] B. Mazur: Modular curves and the Eisenstein ideal. Publ. Math. IHES 47, 33-186(1977). 50 [38] B. Mazur: An introduction to the deformation theory of Galois repre sentations. in Modular forms and Fermat’s last theorem G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens, Springer. [39] J. Nekovář: On the parity of ranks of Selmer groups. Compos. Math. 145 (2009), no. 6, 1351-1359. [40] P. Ribenboim: 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer-Verlag, New York and Heidelberg, 1979. [41] K. Ribet: On modular representations of Gal( QQ) arising from mod ular forms. Invent. Math. 100 (1990), no. 2, 431-476. [42] K. Rubin: Modularity of mod 5 Galois representations. in Modular forms and Fermat’s last theorem G. Cornell, J. H. Silverman, G. Steven s, Springer. [43] D. Savitt: On a conjecture of Conrad, Diamond, and Taylor. Duke Math. J. 128 (2005), no. 1, 141-197. [44] M. Schlessinger: Functors of Artin rings. Trans. A. M. S. 130 (1968), 208-222. [45] J.-P. Serre: Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(QQ). Duke Mathematical Journal, 1987, 259-331. [46] J.-P. Serre: Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques. Invent. Math. 15 (1972), 1987, 54 (1), 179-230. [47] I. Shafarevich: Algebra I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 11, Springer-Verlag, 1990. [48] E. de. Shalit: Hecke rings and universal deformation rings. in Modu lar forms and Fermat’s last theorem G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens, Springer. 51 [49] J. H. Silverman: The arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics 106, Springer. [50] J. H. Silverman: Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics 151, Springer. [51] S. Singh: Fermat’s Last Theorem. ISBN 978-1857025217 (1997). [52] G. Stevens: An overview of the proof of Fermat’s Last Theorem. in Modular forms and Fermat’s last theorem G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens, Springer. [53] R. Taylor: Remarks on a cojecture of Fontaine and Mazur. J. Inst. Math. Jussieu 1 (2002), no. 1, 125-143. [54] R. Taylor: On the meromorphic continuation of degree two L-functions. Doc. Math. 2006, Extra Vol., 729-779 (electronic). [55] R. Taylor: Automorphy for some l-adic lifts of automorphic mod l Ga lois representations. II. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 108: 183 239. [56] R. Taylor；A. Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke alge bras. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 553-572. [57] J. Tunnell: Artin’s conjecture for representations of octahedral type. Bull. Amer. Math. Soc. 5 (1981), no. 2, 173-175. [58] P. Vojta: Diophantine approximations and value distribution theory. Lect. Notes in Math. 1239, (1987). [59] L. C. Washington: Galois Cohomology. in Modular forms and Fermat’s last theorem G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens, Springer. [60] A. Wiles: Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443-551.
注：本文来自于南京大学数学系
