本文将对实系数一元一次方程至一元四次方程的求根公式进行整理及推导(下面描述均省去实系数三个字)，至于为什么到一元四次方程，因为伽罗瓦曾说：一般的一元五次方程没有根式解。
对于一般形式的一元一次方程 ，其求根公式为：
对于一般形式的一元二次方程 ，其求根公式为：
二次项系数化为 ：
配方：
求解：
对于一般形式的一元三次方程 ，其求根公式为：
其中：
注：利用该公式，求解过程中可能会产生增根，可根据文末链接(4.1 一元三次方程)进行取舍。
三次项系数化为 ：
由 并取 ， 消去二次项得：
令 ， ， ，则原问题转化为：
由于：
因此取 并令系数相等得：
即当 和 满足上式时， 便为 的根。上式可转化为：
令 ， 。联立得：
于是，
因此，原一元三次方程解为：
其中：
对于一般形式的一元四次方程 ，其求根公式为：
其中：
其中 为 的实数根，且 ，可利用一元三次方程求根公式求解。
四次项系数化为 ：
神奇的配方：
然后凑完全平方和：
于是乎：
可见，只需要 能够使等式右侧构成完全平方和公式便可进一步化简，令
则实数 满足如下等式：
显然这是一个实系数一元三次方程，因此必至少有一个实根，可利用求根公式求解。那么上述过程等价于找到了一个实数，使得原一元四次方程转化为如下形式：
两边开根号得到两个一元二次方程：
其中：
因此，原一元四次方程解为：
其中：
且 为 的实数根， 。
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