这个问题一般人们会想到使用牛顿法、不动点原理或连分数来逼近，这里我提供一个不同的思路，原理上讲可能只是牛顿法、不动点法或连分数的某个特例，但一方面希望简单易懂，另一方面希望抛砖引玉。
考虑这个式子： ，容易证明：
这表明，对 做幂运算，随着幂增大，会收敛到0.
于是我们先考虑 的平方：
如果我们认为右边比较接近 0 ，那么就有
接下来考虑 的平方：
如果我们认为右边比较接近 0 ， 就有：
这样不断平方就能得到误差越来越小的近似分数。
误差分析：
由于：
从而：
同理：
从而：
这个时候估计的误差已经接近0.001了，而且由于平方之后分母会变大，所以误差收敛得会比较快。
