太长不看：每次都选平均信息增量最大的称法。
假设 个球中有一个坏球，不知道轻重，并且记坏球出现在位置的概率为, 其中. 那么从信息论的角度来看，其中蕴含的平均信息量为.
当 取到极大值时，需要满足, 此时.
每次天平称重会产生3种结果，分别记为 , , . 每次称重可以获得的平均信息量为, 且满足.
那么可以得到 , 当且仅当 时取到等号.
所以题中要求选出13个球中的坏球，在最坏的情况下至少需要的次数. 同理，最坏情况下要分辨出坏球并且推断出坏球是轻是重至少需要的次数为, 因为最坏情况坏球轻或重的概率相等且为 . 但是怎样才能取到这个最小值呢？
每次都选平均信息增量最大的称法。
Step 1
假设天平左边放个，那么右边也是个，剩余个。天平两边的球数一定要相等，否则无法提供有价值的信息。现在假设均匀分布，即最坏的情况，可以得到平衡时，坏球一定在剩余那堆里，那么. 而左边重的情况分为两种情况：左边有坏球且坏球比好球重；右边有坏球且坏球比好球轻。所以, 同理. 现在第一次称重的平均信息增量为：
令 , 可以得到. 也就是说每次称量的时候将球等分为3组，取两组称的操作可以获得最大的平均信息增量。但是这里 。我们考虑两种可能的分割：.
可以看到选4个放左边，4个放右边，留下5个可以得到最大的平均信息增量。接着会产生3种可能的结果：A 一样重；B 左边重；C 右边重。
Step 2
情况A：坏球在剩余的那5个里面。那么不失一般性，在上述5个中选取个放在左边；选取个放在右边，同时从8个好球中选个放在右边（左右两边的好球可以约去），满足. 假设剩余的坏球堆总共有个，去掉放在天平左右的球，还剩 个。天平平衡时坏球在剩余那堆里，; 同样可以得到.
令, 有 , 与无关。所以考虑和 两种情况。
所以这一次从5个中拿2个放左边，拿1个放右边，再从8个好球中拿1个放右边。这样会产生3种情况：A.A 一样重；A.B 左边重；A.C 右边重。
情况B/C：坏球在被选中的那8个里面。事实上这8个球有2堆：和。不失一般性，在 中选取个放在左边；选取个放在右边。在中选取个放在左边；选取 个放在右边。同时从5个好球中选个放在右边，满足 。假设 和中各有个球，那么天平平衡时坏球在剩余那里面， ; ; .
令这些偏导数等于0, 可以得到. 即可得到. 那么可以选取或, 对比两者的平均信息增量。（取法并不惟一，由于取值是离散的，所以也不必满足所有限制条件，只要平均信息增量和最大的平均信息增量相等即可）
所以选取, 假设. 因为, 所以这里. 那么就是在重的4个中取1个放左边，在重的4个中取2个放右边；在轻的4个中取1个放左边，在轻的4个中取2个放右边；为保持两边球数相等，所以从5个好球中拿2个放在左边。这样会产生3种情况：B/C.A 一样重；B/C.B 左边重；B/C.C 右边重。
Step 3
假设原来13个球是 . Step 1 将其分为了3组 和 和 .
情况A：已知 是好球。拿 放左边，拿 和任意一个好球放右边：
A.A：平衡。 是好球，拿 放左边，任意一个好球放右边称。若平衡(A.A.A)则 是好球， 是坏球；若左重(A.A.B)则 是坏球且坏球偏重；若右重(A.A.C)则 是坏球且坏球偏轻。此时平均信息增量.
A.B：左重。 是好球，拿 放左边， 放右边称，若平衡(A.B.A)则 是好球， 是坏球且坏球偏轻；若左重(A.B.B)则 是坏球且坏球偏重；若右重(A.B.C)则 是坏球且坏球偏重。此时平均信息增量.
A.C：右重。 是好球，拿 放左边， 放右边称，若平衡(A.C.A)则 是好球， 是坏球且坏球偏重；若左重(A.C.B)则 是坏球且坏球偏轻；若右重(A.C.C)则 是坏球且坏球偏轻。此时平均信息增量.
情况B/C：不失一般性，不妨假设 比 重。已知 是好球。拿 和任意两个好球放左边，拿 放右边：
B/C.A：平衡。 是好球，拿 放左边，任意一个好球放右边称。若平衡(B/C.A.A)则 是好球， 是坏球且坏球偏轻；若左重(B/C.A.B)则 是坏球且坏球偏重；不可能出现右重。此时平均信息增量.
B/C.B：左重。 是好球，拿 放左边， 放右边称。若平衡(B/C.B.A)则 是好球， 是坏球且坏球偏重；若左重(B/C.B.B)则 是坏球且坏球偏轻；若右重(B/C.B.C)则 是坏球且坏球偏轻。此时平均信息增量.
B/C.C：右重。 是好球，拿 放左边， 放右边称。若平衡(B/C.C.A)则 是好球， 是坏球且坏球偏轻；若左重(B/C.C.B)则 是坏球且坏球偏重；若右重(B/C.C.C)则 是坏球且坏球偏重。此时平均信息增量.
最后，可以算出每种情况对应的总信息增量：
A.A.A:
A.A.B:
A.A.C:
A.B.A:
A.B.B:
A.B.C:
A.C.A:
A.C.B:
A.C.C:
B.A.A:
B.A.B:
B.B.A:
B.B.B:
B.B.C:
B.C.A:
B.C.B:
B.C.C:
C.A.A:
C.A.B:
C.A.C:
C.B.A:
C.B.B:
C.B.C:
C.C.A:
C.C.B:
C.C.C:
而要找出坏球需要信息量，以上所有情况的信息增量都大于等于，所以都可以找到坏球。要找出坏球并确定其轻重需要信息量，所以以上所有情况中只有A.A.A的信息增量未达到，所以只能找到坏球但无法确定坏球的轻重，而其他情况都可以确定坏球轻重。
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