这篇答案的结构是这样的：先回答问题（即证明丢番图定理），接着讲该证明中的思想的重要性，最后讲一点点丢番图定理与费马大定理的联系。
先回答问题：
最简形式（最大公约数为1）的勾股数有无穷多组，并且它们的形式都恰好是注意，不仅把带进去可以得到一组最简形式的勾股数，而且任意一组最简形式的勾股数一定是这个形式。
公元三世纪，数学家丢番图在他的《算术》一书中就写下这个定理。而实际上人们很早以前就知道构造勾股数的方法了——甚至是在毕达哥拉斯之前。
在一块被称为Plimpton 322的约公元前1800年写成的古巴比伦泥板上，人们发现了很多勾股数的记载，最大的一组是 显然古巴比伦人肯定掌握了某种构造勾股数的方法，这么大的勾股数几乎不可能是凑出来的。
（在代数数论课上得知Plimpton 322就在我们学校图书馆……看这里：
）
提到了一种很漂亮的证明方法，我稍微仔细地说一下：
对于每一组最简形式的（非平凡的）勾股数组，我们都可以把的两边同时除以，得到 这就是方程的（既约）有理数解。
同样地，每一组的（既约）有理数解都可以乘上得到一组最简形式的勾股数。
所以最简形式的勾股数与的既约有理数解有一一对应的关系。
而高中学的解析几何告诉我们，对应了平面上的单位圆。任何一条不垂直于轴的过的直线都有的形式。注意到是该直线与单位圆的交点。
当是有理数时，这条直线与单位圆的另一个交点一定是有理点，因为韦达定理告诉我们它们的和是有理数。反之，如果另一个交点是有理点，那么是有理数。
所以，的既约有理数解与过的斜率为有理数的直线有一一对应的关系。
于是，将代入，解得，所以另一个交点坐标是 接着将既约形式的代入，就得到
再根据之前所说的一一对应关系，所有最简形式的勾股数组恰好就是
我把这个证明过程详细地写出来，是因为这个方法可以推广到其他地方，比如椭圆曲线——过有理椭圆曲线上两个有理点的直线与该曲线另一个交点也是有理点：
有这样的性质之后，我们就可以通过两个有理点得到第三个有理点，于是可以定义一种有理椭圆曲线上有理点之间的运算，并且这个运算使得所有有理点构成了一个群：
而且
告诉我们这个群是有限生成的交换群——这个群在数论中有很重要的作用，与费马大定理也有关系。
说到费马大定理，借助之前的丢番图定理，我们可以很快证明费马大定理的一个特殊情形：方程没有非平凡的整数解。
在讲证明之前，大概说一下费马大定理是怎么回事：
1637年，费马在阅读丢番图的《算术》一书时，在第11卷第8命题旁写道：
费马的意思也就是说，当时，方程没有非零整数解。
由于『写不下』，所以费马没有把他的『美妙的证法』写出来……而数学家们不看到证明是不相信结论的，所以他们开始寻找证明，一找就找了358年。直到1995年，英国数学家怀尔斯和他的学生泰勒才最终完成费马大定理的证明。
稍微想一下就可以意识到，我们只需要证明和为奇质数的情况，因为任何大于2的整数的约数中要么有4，要么有奇质数，而如果该方程对于没有非零整数解，那么对于的倍数都没有非零整数解。
我们来看的情况。
注意到如果方程没有非零整数解，那么也没有，因为如果是后者的解，就是前者的解。所以我们只需要证明前者就够了。
接下来就需要用到之前的丢番图定理啦。再强调一遍：不仅把带进公式可以得到一组最简形式的勾股数，而且任意一组最简形式的勾股数一定是这个形式。
我们采用反证法：
假设有非零整数解，由于是2次方和4次方，所以不妨设都是正整数。
取最小的一组解，于是一定是奇数而一奇一偶，不妨设是奇数而是偶数。（想想为什么，提示：模4）
根据丢番图定理，，其中；
注意到并且，所以再次根据丢番图定理，
，其中；
于是，所以，等式化为；
注意到是两两互质的，所以它们一定都是平方数：；
然而且，所以与最小矛盾。
所以没有非零整数解，于是也没有。
证完。
既然已经说到了费马，我不得不吐槽一下。很多人都知道费马大定理的故事，也有不少人知道他其实经常只写结论不写证明，然而更『过分』的是……
费马这一辈子只写过一个证明！！！就是上述的情形……（Ian Stewart. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. Chapter 11, Section 1.）
不过吐槽归吐槽，费马比我等凡人不知道高到哪里去了。
『只剩』？？？
后一种情况目前没有初等证明方法，需要很多很多很多很多很多很多数学知识，就不再这里写了。想知道就去看教材吧=w=
（我承认我写这篇答案其实就是想吐槽费马……）
那么就这样=w=
