鉴于回答会比较长，还会有一堆公式，我就先放结论吧：
拉普拉斯变换的物理意义是先将信号函数强行衰减，然后求衰减后信号函数的频率密度谱。
不过，结论性的东西总归太抽象。就学习路线而言，要想搞清楚拉普拉斯变换究竟在干嘛，你就得先搞清楚傅立叶变换在干嘛。而要理解傅立叶变换，你就得先弄明白傅立叶级数。所以，接下来的内容自然就按先后顺序分成了三个部分：傅立叶级数、傅立叶变换、拉普拉斯变换。
在讲这仨货之前，还是要说明一下，想要真正理解傅立叶级数、傅立叶变换、拉普拉斯变换，你需要具备扎实的泛函分析（functional analysis）基础。但是，我对知乎回答的定位是科普，所以，对于下面的内容，我假定你只具备较好的微积分基础和一点复变函数知识。如果你在阅读过程中看到了“显然”“众所周知”“易知”之类的话，而你又觉得不显然、不知道，请不要怀疑自己。这些说法在这个回答的语境下的意思就是“请参阅泛函分析相关书籍”。
众所周知，对于一个性状（behavior）比较好的周期为 的函数 ，我们可以用正、余弦函数级数来表示，即
由于
可得
易知
对于圆频率为 的函数分量，模 为幅值的 ，反映幅值大小；主辐角 反映初相。
换句话说，求得了 ，我们就把原函数 成功地分解成了不同频率的分量，并且知道了各个分量的幅值和初相。
这就是傅立叶级数的物理意义。
傅立叶级数可以用来分解周期函数，对于非周期函数，它搞得定吗？
如果你只关心非周期函数的在闭区间 上的值，傅立叶级数还是搞得定的。你可以对这个非周期函数进行周期延拓，转化成一个周期函数，然后用傅立叶级数分解这个周期延拓得到的周期函数。
但如果你关心的是非周期函数在整个实数域上的值，傅立叶级数只能对你表示无能为力了！
但是，傅立叶级数这么牛逼的工具，不能轻易放弃。我就是喜欢它，想用它。那么怎么办呢？办法就是将非周期函数看作是周期无限大的周期函数！
此时
注意到，当 时，基频 ， 可取得任意值。因此将 记为 ，将 记为 ，将 记为 ，上式转化为
即
我们记
则有
这就是傅立叶变换。
根据 ，我们可以知道， 是 的线密度。即 是一个密度函数，也即分布函数（distribution）。
所以，傅立叶变换的物理意义就是：
将非周期函数分解成不同频率的分量（分量的频率覆盖了整个实数域，而不是离散的“基频的整数倍”），并算得“广义幅值 ”的线密度 ，即 。
在分析傅立叶变换时，逻辑是顺的，但是我们忽视了一个重要的细节。
对于函数 ，我们知道其傅立叶变换为
但这货是个广义积分，所以就有收敛性的问题！比如说对于最简单的常函数 ，上面的广义积分就不收敛。
显然，要让傅立叶变换收敛， 必须具备良好的性状（behavior）。最重要的一条就是 在正负无穷远处必须快速趋于 ，至少比 趋于 的速度要更快些。
对于那些在正负无穷远处不趋于 ，或者趋于零太慢的函数，傅立叶变换表示压力很大！
这时，我们又遇到了这个老问题：“傅立叶变换这么牛逼的工具，不能轻易放弃。我就是喜欢它，想用它。那么怎么办呢？”
答案是强行衰减 !衰减 的办法就是将他乘上一个衰减函数。
当然能够胜任衰减功能的函数人才是挺多的，比如说 、 （ 是正实数）等。但是考虑到计算方便及其他一些众所周知的原因，我们最终选了 。
不过， 只能衰减正无穷方向的函数值，对于负无穷方向的函数值它反而在起放大作用！所幸的是，对于时域函数 ，我们不关心很久很久以前的事，我们只关心从现在开始到很久很久以后 的行为。
综合起来说，我们一方面对函数 提出了一个合理的要求，即当 ， ；另一方面，我们用 来衰减 在正无穷方向的值。
这样一来，傅立叶变换进一步转化为
我们令其为 ，则有
这就是拉普拉斯变换。
至此，我们终于达到了最后的目标，理解了拉普拉斯变换的物理意义：先将信号函数强行衰减，然后求衰减后信号函数的频率密度谱。
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有朋友提出：按照上文的思路，在理解拉普拉斯逆变换时有困难。下面就接着上文，提供一个拉普拉斯逆变换的推导。
由于
可得（该步就是傅立叶逆变换）
则
这就是拉普拉斯逆变换。
