皮亚诺曲线很有名气，它是一个“填满单位正方形的曲线”，不过它也让人迷惑，一个坑是它其实有过好几个定义，而即使是维基百科，上面的介绍也是错的；另一个坑是，它是按照曲线族的极限定义的，而极限与曲线族中的任意一条曲线，性质未必相同。
比如维基说：“1890年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（意大利语：Giuseppe Peano）发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线“——嗯，到这里，是对的，让我们把这个称为定义一。
维基继续说：”其构造方法如下：取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……将这种操作手续无限进行下去，最终得到的极限情况的曲线就被称作皮亚诺曲线。”图如下：
——嗯，这个说法也成立，让我们称这个为定义二。
两个都成立阿，那不挺好吗？问题就在于，这两个定义是不等价的——皮亚诺当年的构造方法，跟定义二里的构造方法，是不一样的。
——————分割线——————
OK，让我们从头说起。严谨一点，称“填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线“这种最广义的说法，为定义零。皮亚诺的方法为定义一，上面整整齐齐的构造方法，为定义二。
皮亚诺当初首要目的，是为了填满正方形，他并不在乎如上图那样整整齐齐。与皮亚诺最类似的构造方法，在张筑生老师《数学分析新讲》第三册里有介绍，是索恩伯格（Isaac Jacob Schoenberg）1938年提出的：
整个过程比较罗嗦，其实想法也很简单，就是把小数拆开，一分为二——比如有小数0.12345678，按奇偶拆成0.1357和0.2468——这样单位区间上0到1的一个小数，就拆成了两个，让它们是纵横坐标，就指定了一个点，这样就填满正方形了。用数学语言说，我们要在单位区间[0,1]上定义两个函数phi和psai，使得对任意x属于[0,1]，phi(x),psai(x)也属于[0,1]。x从跑到1，(phi(x), psai(x))从(phi(0), psai(0))跑到(phi(1), psai(1))，把点连起来，就是曲线，然后想办法找到合适的phi和psai，让这个曲线能走遍正方形的所有点，就大功告成。
一分为二最简单的就是如上面例子所示按奇数和偶数位拆开——小数0.12345678，拆成小数对(0.1357, 0.2468).
这里让我们再进一步，用二进制表示，那么十进小数0.5，换成二进制就是0.1，写成0.100000....，可以拆成二进制的小数对(0.10000, 0.00000)，换成十进制就是(0.5,0)。
到这里似乎还好，问题在于，这样拆，是不连续的，即，phi和psai不连续！不连续的话，x从跑到1，(phi(x), psai(x))跑的点连不起来，就不是曲线。
验证一下：十进小数0.49999999....，换成二进制就是0.0111111.......，可以拆成二进制的小数对(0.011111...., 0.11111.....)，这就是(0.1, 1.0)，换成十进制就是(0.5,1)。这样，x从0.49999...跳到0.5，(phi(x), psai(x))从(0.5,1)跳到了(0.5,0)，步子太大，断了。
怎么办？上面Schoenberg的构造方法就是来解决这个问题的，简而言之，他引入了三进制，多了一个缓冲区间，这样就把两边连起来了。
Schoenberg function，是这个样子的：
上面张老师的书里的图19-10是基本函数w，Schoenberg fucntion是w的一个无穷级数，即函数序列的极限。
可以证明，Schoenberg function处处连续，处处不可导。
Schoenberg function是phi，phi(3x)是psai(x)，形成的曲线是这样的：
可以看到，跟上面维基的定义二里的乖宝宝相比，这样形成的皮亚诺曲线（定义一），是狂野的多了。
但不管好不好看，可以看到，任何一个单位正方形内的点，都能合并成一个单位区间的数，换句话说，这样定义的皮亚诺曲线，确实是一个满射，它填满了整个正方形。
——————分割线——————
好，现在让我们讨论定义二的曲线。这个曲线明显舒服的多，它的简化版本是希尔伯特曲线(Hilbert Curve)
这个定义很直观，唯一要说明的是一个坑：这样的曲线，似乎每一个条线段端点，至少有一个坐标是有理数，那这样的曲线能否经过两个坐标都是无理数的点呢？比如(1/pi, 1/pi)。
甚至有人证明了它”不可能遍历正方形“：按照皮亚诺曲线的定义，它应该无法遍历平面啊？ | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思。
这就回到了开头说的：曲线族的极限与曲线族中的任意一条曲线，性质未必相同。
例如有这样的曲线族fk(x) =1/k，很显然任意一条曲线都有f_k(x)>0，但这个曲线族的极限很显然是f(x)=0。
可以证明，定义二所述的皮亚诺曲线，作为曲线族的极限，是经过正方形内的每一个点的，它也是满射。
——————分割线——————
关于皮亚诺曲线的维度和面积，”等待飞翔“的回答里已经阐述，不再赘述。
——————分割线——————
参考书目
[1]张筑生老师, 数学分析新讲
https://book.douban.com/subject/1122660/
[2]Jeremy Ryder, The Schoenberg Functions
https://caicedoteaching.files.wordpress.com/2012/01/schoenberg_functions_ryder.pdf
[3]Thim, Johan, Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master’s Thesis, 2003,
available online at
http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf
[4] Peano curve - Wikipedia
[5]Hilbert curve - Wikipedia
