谢邀。
题主的这个问题，并不是类似“小王为什么是小王？”这种问题这么浅显。 其实触及到了一个很有趣的日本社会的人文现象。
日本人对于别人的称呼，比中国人复杂多样，不仅仅是因为他们的名字比中国人的名字字数多。
日语应该也是人称代词最丰富的语言。 日语，尤其是口语当中，仅第二人称代词，就有 あなた（貴方、貴女、貴男）、あんた、そちら、そっち、きみ、おまえ、お前さん、おたく、じぶん（関西）、わい（九州）、てめぇ、おのれ、貴様、等等。
当然也会称呼对方名字。
把别人的名字省略的越多，表示和对方越亲近。
按照倒置的亲疏程度，大致分以下几种情况：
连名带姓并在后面加【さん】或者【さま】，一般是医院、银行、市民中心等用来称呼前来看病或处理事务的客人。（互不相识）→田中一郎様
姓后面加【さま】，用来称呼相识但关系较为疏远，或者仅限于工作往来的。→田中様
姓后面加【さん】，最为常见的称呼，用来称呼较为熟悉的同事，同学，一般的朋友，熟人等。→田中さん
名字后面加【さん】，一般用于家人之间的称呼。例如婆婆称呼媳妇、丈母娘称呼女婿等。→一郎さん
姓或名后面加【くん】或者【ちゃん】，用于称呼比自己年幼，关系比较或相当亲密的人。【ちゃん】更有表示亲昵的意思。
直呼姓或名【（呼び捨て）】，非常熟悉，可以有什么说什么的好基友。也用于上级对下级，家长对子女的称呼。
在最后两种情况的基础上更进一步表示亲密的，就是给对方起一个昵称或者绰号（あだ名・ニックネーム）。与大多数国家一样，在日本，众多粉丝为了表示对自己喜爱的明星的亲昵，会给明星起一些容易发音、容易记忆的昵称。常见的就是从本人的全名中选一到两个字并稍作修改。
【gakki】就是这么一个昵称。从【新垣結衣】中选了【垣】这个字的读音，并加了促音。
为什么变成促音？
日本人（尤其是以【江戸っ子】自居的东京人），推崇言简意赅、节奏明快，吐字用词不喜欢拖泥带水。
维基百科日语版关于【首都圏方言】的发音，有如下的记载：
简单地说，因为有一部分东京人，讲话喜欢带促音。（当然也不是所有的字，都可以读成促音的）
东京是日本的首都，也是日本的政治经济和文化的中心，也是大多数流行元素的发源地。当然日本的演艺明星，在东京出道、成名、走红的也是占绝大多数。
所以，很多活跃在东京的演艺明星的昵称中，带促音的很多见。 「松本人志」→「まっちゃん」 「内村光良」→「うっちゃん」 「前田敦子」→「あっちゃん」 上面这种叫法是常规套路。中间有两个同一行的音（つ、ち等)，所以一个改成促音。下面的是变化形。 「八嶋 智人」→「やっしー」 「内田恭子」→「うっちー」
【ガッキー（ gakki）】的称呼，也是这么来的。
******************补充，答评论区问*******************
有人问，两个字的怎么省略。
日本人的名字即使只有两个汉字，但是读音几乎不可能只有两个音的。我随便举个例子，假如有个日本人全名写作「橘一」，【橘】是他的姓，读作TACHIBANA，【一】是他的名，可以读作HAJIME，也可以读作 ICHI，当然一般日本人会认为HAJIME更好听一点。
这个名字一般朋友之间会直呼他的名字HAJIME。一定要给他起个昵称，我觉得【タッチー】也不错，取他的姓的读音的前半部分，类似英语touch的发音。没啥特别的意思，就是容易发音。
2017年7月补充
