「连续」和「一致连续」的不同，都是定义中那个 导致的问题。
「连续」首先是对一点而言的。回顾一下定义：
如果对于区间中的每个 都能做到这样，函数就在这个区间连续。但是，请注意，这里的 的选取通常不仅与 有关，也与 有关。如果在 附近，函数变化比较剧烈，曲线比较陡峭，这个 就必须取小一点；如果函数变化比较温和，曲线比较平缓，这个 就可以取大一点。换言之，连续函数在取定 之后，对于区间中不同的 允许选择不同的 并不要求存在能够在区间各处都一致适用的 。
但是，有这样一种更为特殊的连续函数，任意取定 之后，可以找到公共的 普遍地适用于区间各处，也就是说，这个 变得只与 有关，而与 无关了。这样的连续就称为「一致连续」。
为便于直观地理解，我们借助函数图象作一个说明。对于一致连续函数，在取定 之后，我们总能找到一个固定的 在作出高为 宽为 的竖直的小矩形后，让这个小矩形的中心遍历函数的曲线，都能够保证函数曲线总是从矩形左右两侧穿过！而如果是，无论将 取得多么小，在小矩形遍历函数曲线时，都会在某些位置被曲线上下穿过，那么函数就不是一致连续了。
到此，聪明的题主一定能够领悟到：一致连续函数不可能无限地陡峭下去！你所举的例子 之所以在 上不一致连续，从直观上来解释，就是因为在 趋于零时，它「陡」得那样清新脱俗、自由奔放、随心所欲、毫无节制！
