一元三次式如果能在有理数域内分解因式，那么，有以下一般性的规律：
一、x³ 的系数是“1”
①f(x)一定能够分解为(x＋a)(x²＋bx＋c)形式，如果2次式还能够分解因式，则f(x)就是3个1次因式的乘积。
②2次式也是f(x)的一个因式，可以将 x³ 用 x 的1次式表示，代入f(x)，则f(x)＝0.也就是说，能使f(x)＝0的2次式，是f(x)的一个因式，那么，用 x 的1次式表示 x³ 和 x²，代入f(x)，f(x)一定等于0.反之，不能使f(x)＝0的2次式就不是f(x)的因式.
因此，“因式”不仅仅指常数的质因数分解，“因式”还包括使f(x)＝0的多项式，能使f(x)＝0的多项式，也是f(x)的因式。对3次多项式来说，如果要分解因式，那么，首先考虑的是这个3次多项式可能包含有(x³－1)、(x³＋1)或(x²＋x＋1)、(x²＋x－1)、(x²－x－1)、(x²－x＋1)等因式，因为这些因式都是可能使f(x)＝0的因式。
很明显的，题主的题目可以通过分组分解因式，提取公因式得到结果：
用因式定理判断f(x)中有(x－a)这个因式，那么，就直接用增减法或拆分法来分解因式了。怎样判断因式呢？如果3次多项式能分解因式，那么，其常数项一定可以进行质因素分解，就用每一个质因素代入3次式计算，总有一个质因素能使3次多项式等于0，使3次式等于0的这个质因素就是这个3次多项式的一个因式。题主所说的“系数之和等于0，则方程必有有理数根1”，就是用的因式定理判断出方程有“1”这个有理数根，代入方程计算，x 的各项都是“1”，其实质就是方程的系数和等于0，这没有什么神奇的。
二、x³ 的系数不是“1”
f(x)能分解的因式形式是：
①f(x)＝(mx＋n)(x²＋bx＋c).
②f(x)＝(mx＋n)(ax²＋bx＋c).
③f(x)＝(x＋k)(ax²＋bx＋c).
如果2次式还能分解因式，那么，f(x)就是3因式的乘积。
例1、
通过计算可知，f(x)中有(x²＋x＋1)这个因式，只要找到了其中一个因式，就可以根据这个因式对原多项式用“增减法”或“拆分法”来分解因式。显然，f(x)能分解成②这种形式，既然已经知道了 b 和 c 都等于1，那么，(mx＋n)中的 m 和 n 也就很容易确定了。2次项的系数是1，∴ m＝3，1×n＝－2，∴ n＝－2。
∴ f(x)＝(mx＋n)(x²＋bx＋c)
＝(mx＋n)(x²＋x＋1)
＝(3x－2)(x²＋x＋1).
例2、
∴ f(x)有因式(x²－x－1)，就可以用拆分法和增减法分解因式：
用因式定理分解因式，很容易判断出 x＝1 时，多项式等于0，∴
例3、
所以有因式(x＋3)，用“拆分法”分解因式：
这种方法可以称为“降幂法”，其意义和作用在于我们不能一眼观察出f(x)的有理数因式时，就可以用这个方法找到这个有理数因式.比如：
例4、
可知，f(x)中没有(x²＋x＋1)这个因式，但是，从计算的结果可知，要使f(x)＝0，只能是 x＝－3.于是，(x＋3)是f(x)的一个因式：
例3中令f(x)＝0来求出要找的因式只能满足 x 是整数的条件，对分数的情形就不适用了。当然，我们还可以用其它方法来分解因式，从常数项“75”入手，对“75”分解质因数，只有两种情况，一是 3×25，二是 5×15，再看后面的2次3项式，如果考虑把4提出来，那么，就又要剩余 x 项，所以，只能考虑提出2，这样，前两项就是：2x²—11x，要使这个2次式能分解因式，常数项是有很多种情况的，但是结合已知的常数项“75”，那么，这个2次式的常数项也就基本确定了。拆分这个常数“75”的一个基本原则是：剩余的常数一定可以与3次项组成立方和公式或立方差公式！可以说，这是分解3次式或3次方程因式的一个“规律”或一个“诀窍”！从2次式考虑用十字相乘法分解因式来拆分原3次式或3次方程的常数项，这是分解3次式或3次方程因式的“绝活”。所有的3次式或3次方程，只要能分解因式，都可以用这个方法。对此题而言，我们可以优先考虑3次项，因为常数是“—75”，比较大，所以，优先拆分为(—27，—48)，那么，2次式就是：
2(2x²—11x—24)，判别式为：
⊿＝11²—4×2×(—24)＝121＋192＝313，
不是平方数，说明这个2次式不能分解为有理因式。我们又改变符号，拆分为(27，—102)，此时，2次式为：2(2x²—11x—51)，判别式为：
⊿＝11²—4×2×(—51)＝121＋408＝529＝23²，
可以分解因式为：(x＋3)(2x—17).
当然，用十字相乘法一眼就能完成。而3次项与27恰好能成为立方和公式：
x³＋27＝x³＋3³＝(x＋3)(x²—3x＋9).
它们有公因式(x＋3)，于是，这个3次式或3次方程完成分解因式。
另外，还可以用“待定系数法”来分解，毕竟常数项只有两种情况，考虑常数项为负号，所以，两因式只可能一正一负，总有一个情形是满足3次方程或3次式的，否则，这个3次方程或3次式在有理数域内不能分解因式，在此就略去了。
例5、
所以f(x)中没有(x²＋x＋1)这个因式，而 3x－1＝0又不符合要求。但用因式定理我们很快就能确定其中的因式之一：
判断出有因式(x－2)之后，就可以用拆分法来分解因式了：
还可以是：
一般比较简单的3次多项式都可以用因式定理来判断其中所包含的因式，然后以此因式作“标准”用“增减法”和“拆分法”来分解因式。
例6、2x³－5x²＋x＋2.
这个就是题主所说的“方程的各项系数之和等于0，方程必有有理数根1”。
通过计算，f(x)有(x－1)和(x－2)两个因式，既然有这两个因式，那么，f(x)就一定有因式：
(x－1)(x－2)＝x²－3x＋2.
那剩下的一个因式就是(2x＋1)无疑了。可见，用因式定理判断出因式后，分解方法是比较多的。难的是有的3次多项式用因式定理不是一下就能判断出因式的。
例7、
拆分法分解因式：
有的3次式一下不容易用因式定理判断出其中的因式，就可以用“待定系数法”分解，因为我们总是可以判断出能够分解的形式。
例8：如果下面这个分解形式不成立，就改为(3x＋a)(2x²＋bx＋c)形式，或者是(x＋a)(6x²＋bx＋c)形式，必定是这三者之一。
解方程组的方法是从常数项的质因式分解入手，总有一个质因式是符合要求的。
例9、x³＋19x²＋56x－196.
分解这个3次式的因式，我们可以从两方面入手：一是对“196”进行质因素分解：
196＝2•2•7•7＝4•49＝2•98.
二是观察这个3次式，前面3项都是正项，常数项是负项，由此可以初步判断前3项之和等于常数项，所以，又得出结论说：x 不可能是负值，否则，负项的值大于正项的值是不能使3次多项式等于0的。
再看看最后一组质因素，19•2＝38，而要使 x 项的系数＝56，其常数应该是：38＋56＝94，其2倍应该是188，说明“196”中多了“8”，而这个“8”可以表示为：2³，又恰恰与3次项可以组合成立方差公式，由此判断，这个3次多项式有因式(x－2)，于是，得到以下分解方法：
例10：2y³－5y²－16y＋39.
常数项“39”可以分解为：3•13，观察1次项系数为“－16”，所以，很快联想到十字相乘法，将3•13分解为：(－3)•(－13)，且(－3)＋(－13)＝－16，于是，增减1项 y²，后3项用十字相乘法分解，前两项提取公因式后恰有(y－3)，所以，用增减法得到分解：
例11、y³＋9y²＋26y＋24.
多项式各项都是正项，所以，y 值一定是负值，其因式为正项，∵ 24＝2•3•4，∴ 可以初步判断其因式可能是(y＋2)或(y＋3)或(y＋4)，如果以(y＋2)为因式来分解，那么，中间两项的系数之间的比例就应该是：2＋7，14＋12，12的2倍恰好是24，于是，用拆分法分解：
当然，该多项式还有另外的分解方法。
例12、x³－2x²－23x＋60.
观察常数项“60”，可以分解为：3•20，又发现1次项系数为“－23”，所以，常数项就分解为：(－3)•(－20)，它们之和＝(－3)＋(－20)＝－23，于是，增减项是：x²，后3项用十字相乘法，所以得到以下分解法：
例13、x³＋3x－14.
常数项“14”质因素分解为：(－2)•7，所以，将2代入多项式计算，发现多项式等于0，说明多项式有(x－2)这个因式，于是，用拆分常数的方法分解因式：
例14、x³＋3x＋5•2½.
常数项含有2½，又没有2次项，又全部都是正项，要使3次式等于0，则 x 一定是负值，把常数项拆分为：2•2½＋3•2½，那么，后两项是：3(x＋2½)，而 2•2½＝(2½)³，可以与3次项组合为立方和公式，于是，得到以下分解方法：
例14、x³－(9－2½)x＋3•2½.
用上面的方法分析，因为缺2次项，常数项又含有“3”，所以，3次式要抵消掉2½，可以首先考虑 x＝－3，这样，1次项展开就恰恰能抵消常数项，却又多出了“27”，但27＝3³，与3次项组合成立方和公式，又刚好抵消掉多出的“27”，于是，用增减法使3次式得到分解，增减27：
用“降幂法”还可以分解高次多项式的因式，最能体现其使用价值和适用性了。“降幂法”可以说是分解高次多项式因式的一个比较好的方法，因为它能比较快速的判断出多项式中之一的因式，为分解因式寻找到了比较快捷的方法。之所以说这是一个好方法，就是因为多项式的常数项是“1”，再也不能进行质因素分解了，说明这个高次多项式一定没有有理数因式，就只能是2次式和3次式及4次式的乘积，所以，计算高次多项式寻找其中的2次式、3次式及4次式就成了分解高次多项式的一个“捷径”。下面举几个高次多项式分解因式的例题：
既然已经判断出了有(x²＋x＋1)这个因式，如果一时还不知道如何增减项或拆分项，那么，就直接用“待定系数法”来分解了，其另一个因式必然是(x³＋ax²＋bx＋1)。展开因式时不需要完全展开，只展开我们要求的待定系数所包含的项就可以了，求出来的待定系数也一定能满足条件或符合其他项的要求的：
例15、
由于原式有 x²＋x＋1 这个因式，所以对原式采取“硬凑”的方法，然后提取公因式：
例16：
还可以用“待定系数法”分解，展开时，只要计算出 x 的7、6次方的系数和 x 的系数就可以了，没必要完全展开，求出这3项的系数也一定满足后面系数的.
